Waar ben ik en waar moet ik naar toe

Als verwoed wandelaar maak ik vaak gebruik van een gps-apparaat, een TomTom, zeg maar. De gemiddelde automobilist kan niet meer zonder zo’n ding achter het stuur zitten en dreigt soms eerder te verdwalen dan op de gewenste bestemming aan te komen. Dit keer wil ik het hebben over het Global Positioning Systeem (GPS), of beter: Waar ben ik en waar moet ik naartoe.

Een ruisje

GPS dateert van 1983 en is ontwikkeld door en voor de Amerikaanse defensie, want die generaals wilden ook wel eens weten waar hun mannen precies uithingen en waar ze hun bommen moesten afgooien. Eerst wilden ze het systeem voor zichzelf houden, maar uiteindelijk kwam het ook beschikbaar voor de burgers met een “ruisje”  op het signaal waardoor het minder nauwkeurig werd.

Het systeem is gebaseerd op 24 satellieten die op zo’n 20,000km hoogte om de aarde heen cirkelen. Ze zijn uitgerust met uiterst precieze atoomklokken, die onderling precies gelijk lopen. De satellieten “weten” precies waar ze uithangen, omdat ze “gevoed” worden door exact gepositioneerde ijkbronnen op aarde en uiterst precieze, voorspelbare omloopbanen hebben (zie tekening van Joop).

Een satelliet zendt op gezette tijden zijn coördinaten uit gevolgd door een pulssignaal. Deze informatie kan worden opgevangen door willekeurige wandelaars met een gps-ontvanger.

Cirkels en Bollen

De vraag is, hoe zo’n gps-ontvanger (D) zijn positie uit de satellietsignalen kan halen. Om dat te kunnen doorgronden, kijken we voor het gemak in het platte vlak naar een satelliet (S₁) en een GPS ontvanger (D) op een onbekende afstand a₁ (zie fig.1a)

Fig1a: De (groene) aarde met middelpunt M en D erop. D zit op afstand a₁ van satelliet s₁ (blauwe cirkel) die om de aarde heencirkelt ook met middelpunt M. 
   

Als de klokken van S₁ en de GPS exact gelijk lopen en de satelliet zendt bijvoorbeeld op iedere hele minuut zijn positie en een puls uit, dan zal D dat signaal iets later binnenkrijgen. Het radiopulsje heeft nou eenmaal tijd (t₁) nodig om vanaf de satelliet naar de GPS te komen en doet dat met de lichtsnelheid (c=299 792 458 m/s). De afstand a₁ zal dus gelijk zijn aan c x t₁ en zal in de orde van 20,000-30,000km zijn. De GPS ontvanger “weet” nu hoe ver hij van die satelliet is verwijderd. Dit betekent dus dat D zich ergens op een cirkel moet bevinden op afstand a₁ met de satelliet als middelpunt (blauwe cirkel). Dat is al heel wat, maar natuurlijk niet genoeg, daarom kijken we naar een tweede satelliet S₂ en herhalen de truc (zie fig. 1b). 

Fig1b: Nu met twee satellieten s₁ en s₂ op afstand a1 resp. a₂ (snijpunt van de blauwe cirkels) van D

De GPS van D weet nu bij dat het zich bevindt op het snijpunt van de twee cirkels met straal a₁ en a₂ met de satellieten als middelpunt (blauwe cirkels). Met een beetje wiskunde is nu de positie van de GPS in dit voorbeeld te berekenen.

In de echte wereld leven we niet plat, maar driedimensionaal en zal bij 1 satelliet de GPS van D niet op een cirkel, maar op een bol moeten liggen en bij 2 satellieten op de snijlijn van twee bollen, en dat levert een snijcirkel op (fig1c) in plaats van een snijpunt. Er is dus een derde satelliet S₃ nodig, zodat we drie bollen krijgen die elkaar snijden in een punt waarin zich de GPS van D zich moet bevinden. Vraag bijna beantwoord!

Fig.1c: Nu met bollen in plaats van cirkels. De blauwe cirkel is de snijcirkel van die twee bollen

Een miljoen voor een klokje

Nu is er nog een probleem. In feite loopt zo’n GPS helemaal niet gelijk met die satelliet klokken. Dat zou wel heel mooi zijn, maar zo’n atoomklokje moet wel wat kosten, terwijl je voor een paar honderd EU een GPS apparaat hebt, wat je bovendien ook nog voortdurend uitzet om energie te besparen. Als je een GPS inschakelt zal het zijn best doen om zoveel mogelijk op tijd te lopen, maar echt precies zal het nooit worden; daarom is er een vierde satelliet nodig om de klus te klaren. Het is daarom, dat er altijd vier satellieten “zichtbaar” moeten zijn vanuit je GPS apparaat.  Met die 24 satellieten rond de aarde kom je dan een heel eind en worden het er effectief dus veel meer.

In feite is zo’n GPS apparaat een uiterst vernuftige minicomputer die razendsnel kan schakelen tussen aardbol coördinaten en platte kaarten waarop de positie van de GPS kan worden geprojecteerd. En alles gaat zo snel, dat het niet uitmaakt of je met een GPS beweegt of stilstaat. Je kunt er zelfs redelijk een snelheid mee meten, zodat je in een auto een bliep krijgt als je te hard rijdt als op je kaart staat aangegeven dat er op een bepaalde weg een maximum snelheid geldt. Een smartphone wordt ook steeds slimmer. Het ontvangt ook de positie van vaste GSM palen of extra pulsjes als je ergens onder de grond rijdt in een tunnel. Het komt misschien zelfs zover dat de overheid je bekeurt als je te hard rijdt als iedereen rekening rijdt. 1984 is tenslotte al lang passé. 

(On)nauwkeurigheid

Fabrikanten van GPS zijn voorzichtig in hun mededelingen over de nauwkeurigheid, maar omdat GPS vaak meer dan 4 satellieten ziet, kan de onnauwkeurigheid oplopen tot een meter of vier. De tijdnauwkeurigheid komt dan neer op t=a/c=0,013μsec (1μsec is een miljoenste seconde). Als je het ruisje er vanaf laat halen (dat kost geld), dan kan de precisie zelfs oplopen tot enkele centimeters (dus nog een factor 1000 nauwkeuriger!) en kun je GPS gebruiken voor het opmeten van je tuin, het vervoeren van pakjes met een drone, een zelfsturende auto of een E-bike. En dan hopen dat het systeem niet plat gaat natuurlijk.

Bronnen
Internet artikel over GPS: Wikipedia

Vrije Software: GeoGebra voor de plaatjes

Dick is behalve natuurkundige ook een fanatieke wandelaar, die zelf zijn routes uitzet en op zijn GPS laadt.

Illustratie: Joop van Eck