Wiskunde met een ananas en de Gulden Snede

Op het eerste gezicht zie je er weinig aan, aan zo’n ananas. Al of niet met een slim mes probeer je zo’n ding te schillen en daarna zo netjes mogelijk op te eten, waarbij je probeert de harde kern te mijden. Kijk je iets nauwkeuriger naar deze, overigens veel te goedkope, vrucht uit arm Costa Rica, dan zie je aan de buitenkant een mooi wafeltjespatroon, die de eigenlijke vruchten zijn van de ananas. De vijfhoekige wafeltjes structuur slingert zich om de vrucht heen als S-spiralen die of links om of rechtsom gaan (zie Joop’s tekening). 

Als je in de ene richting gaat tellen kom je op acht van die spiralen terwijl de andere richting er dertien opleveren. Joop heeft er twee op een ananas uitgetekend, die ik bij de AH op de Molenweg gekocht heb.

Fibonacci

Nou èn, zul je zeggen, dat zal wel. Bedenk echter dat acht en dertien geen willekeurige getallen zijn, maar deel uit maken van de getallenreeks van Fibonacci. Die reeks ziet er als volgt uit:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 223 etc.

In deze reeks is ieder getal de som van zijn twee voorgangers. Is dat toeval met die ananas? Nou niet echt, zo zijn bij zonnebloemenharten de pitten ook in van die spiralen geordend en dan kom je, afhankelijk van het type zonnebloem, uit op 34 linkse en 55 rechtse spiralen. Zo heeft de natuur ook nog bloemkolen, helianten, klokhuizen, artisjokken en dennenappels in petto, waar al die Fibonacci getallen op een of andere manier in voorkomen. Het blijkt dat ordening van pitjes in groeiende systemen het beste gedijen als ze voldoen aan Fibonacci getallen. De evolutie weet er dan wel raad mee.

De naam van de reeks komt van Fibonacci ook wel Leonardo van Pisa genoemd (1170-1250). Het was een slimme Italiaan die ook ontdekte dat het met Arabische cijfers (1, 2, 3, 4, 5..) wel een stuk gemakkelijker rekent dan met Romeinse (I, II, III, IV, V..). 

De reeks wordt ook de wel de reeks van de Konijnengetallen genoemd, omdat je er binnen zekere aannames de ontwikkeling van konijnenpopulaties mee kunt voorspellen. En dat geldt ook voor bijenpopulaties en economische groeiprocessen. Ze volgen allemaal die Fibonacci reeks.

We kijken nog eens wat nauwkeuriger naar die getallenreeks door twee opeenvolgende Fibonaccigetallen op elkaar te delen. Je krijgt dan een nieuwe reeks:

1/2 2/1 3/2 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55 144/89 233/144 etc.

Werken we deze breuken uit, dan krijgen we de reeks in decimale breuken:

1,000 2,000 1,500 1,667 1,600 1,625 1,615 1,619 1,618 1,618 etc

We zien, dat naarmate we in de rij vorderen de breuken naar een vast getal (1,618) gaan (convergeren). Dat getal staat bekend als het getal van de Gulden Snede. Om dat in te zien moeten we terug naar de Griekse oudheid, de Renaissance en de Verlichting.

Gulden Snede

Euclides, een Grieks wiskundige die 300 jaar voor Christus leefde, bedacht een bijzondere verdeling van een lijnstuk (zie figuur 1). Hij verdeelde het lijnstuk zodanig in tweeën, dat de verhouding van het langste (a) en het kortste (b) stuk gelijk moest zijn aan de verhouding van de totale lengte (a+b) en de het langste gedeelte (a) van het lijnstuk.

Figuur 1: Verdeling van een lijnstuk

Als je dat in een formule opschrijft, dan komt er te staan:

a/b = (a+b)/a = 1 +b/a. (1)

Om aan die voorwaarde van vgl. (1) te voldoen, moet die verhouding a/b gelijk zijn aan 1,618. Dit getal werd door velen bewonderd, zoals Leonardo da Vinci, Johannes Kepler en Leonardo de Pisa (Fibonacci) en kreeg namen mee als: de Gulden verhouding, de Gulden Snede, de Goddelijke verhouding. In 1910 kreeg het de Griekse letter FIE als naam mee. Vergelijking (1) wordt met die FIE herschreven tot:

FIE=1+ 1/FIE. (2)

Die verhouding FIE kan uit (2) precies worden berekend als oplossing van een kwadratische vergelijking met als oplossing (zie voetnoot):

FIE = (1+ WORTEL(5)) / 2 = 1,6180

En dat is precies hetzelfde getal dat ontstaat bij die Fibonacci getallen! We kunnen dat ook zien door vgl. (2) voortdurend in zichzelf op te schrijven (magisch!):

We noemen (3) een “kettingbreuk” die iedere keer een nieuwe benadering van  geeft door iedere keer het gedeelte achter het plusteken “af te dekken”, je krijgt dan respectievelijk:

1 en dan 1+ 1/1=2 en dan 1 + 1/(1+1/1) = 1 + 1/2 = 1,5 en dan 1,667 en dan 1,6. En dat zijn precies die Fibonacciverhoudingen die we eerder zijn tegengekomen en convergeren naar FIE.

In de 19^de eeuw werd de gulden snede zo’n beetje herontdekt door de wetenschap en ontdekte men nog meer onderlinge relaties tussen wiskunde en geometrische vormen. 

De Goddelijke verhouding werd door Jan en Alleman overal in herkend zoals in het Parthenon in Athene, vingerkootjes, de Vitruviusman (dat is die mijnheer die in een cirkel staat) van Leonardo da Vinci, Pyramides, slakkenhuizen, Bach. De hand van de Schepper was overal. Reken je de voorbeelden door, dan valt veel door de mand door onnauwkeurigheid, toeval en kabbalistiek.

Veel kunstenaars zoals de schilder Salvador Dali en de architect Corbusier kozen er bewust voor om de verhouding van de Gulden Snede in hun werken op te nemen. Ook zij waren gebiologeerd door de magie van dit getal, dat op verschillende manieren in de wiskunde kan worden beschreven namelijk in De Wiskunde van de Getallen, de Meetkunde, de Algebra en van de Ananas.

Tekening: Joop van Eck

Literatuur: Wikipedia (Eng): Fibonacci reeks, Gulden Snede, figuur 1. Je vindt hier ook de klassieke constructie met passer en liniaal van de Gulden Snede en zeer veel voorbeelden.

Voetnoot: vermenigvuldig in (2) links en rechts met FIE en je krijgt de kwadratische vergelijking in FIE: FIE^2 - FIE -1 = 0, waarvan de oplossing onder (2) staat.