Het is wel even geleden dat Archimedes “Eureka” riep en in zijn blootje naar zijn koning rende om uit te leggen hoe hij erachter kon komen of zijn kroon nep, of echt van goud was. Deze keer een stukje antieke natuurkunde over massa en volume.
Het Probleem
Archimedes leefde in Griekenland van 287 tot 212 voor Christus. In zijn tijd was hij wereldberoemd omdat hij niet alleen handig was in het uitrekenen van dingen, zoals oppervlaktes en inhouden van bollen en lengten van spiralen, maar hij was ook goed in het uitvinden van dingen, zoals de schroef van Archimedes of de koevoet (hefboom principe). Iedereen kent natuurlijk ook zijn wet van de opwaartse kracht, die gelijk moet zijn aan het gewicht van de verplaatste vloeistof, maar eerst eens die gouden kroon.
Koning Hiero van Seracuse op Sicilië (dat was destijds Grieks) had besloten een goudoffer te brengen en hij bestelde een kroon die van puur goud moest zijn. De goudsmid had niet zo veel goud op voorraad en kreeg een klomp van de koning ter bewerking. Toen de kroon af was, vertrouwde de koning het zaakje niet. De kans was groot dat er zilver door het goud was gemengd en dat de goudsmid de rest van het kostbare goud had achtergehouden. Archimedes werd erbij geroepen. Zou hij erachter kunnen komen of de kroon echt van goud was, zonder hem te beschadigen natuurlijk.
Het Eureka moment
Archimedes had er niet meteen een antwoord op. En als zo vaak bij moeilijke problemen, moet je die even laten rusten voordat je ze kunt oplossen. Toen Archimedes een paar dagen later in zijn te volle wastobbe stapte, stroomde het water eruit en opeens had Archimedes de oplossing gevonden, want in een flits realiseerde hij zich dat de hoeveelheid uitstromend water gelijk aan het volume van zijn grillig gevormde lijf moest zijn. Die kroon was ook grillig gevormd, en als hij het volume van die kroon kon bepalen, dan kon hij dat vergelijken met het volume van zuiver goud en dan had die het voor mekaar. Eureka! Hij sprong uit zijn wastobbe en rende naar koning Hiero om te zeggen dat hij het probleem kon oplossen en of die goudsmid een bedrieger was of niet.
De Uitwerking
We gaan eens kijken hoe hij dat nou precies deed, waarbij we even op moderne maten overgaan, want meters en kilogrammen (zie voetnoot) hadden ze in die tijd niet, maar ze wisten natuurlijk wel precies wat een klomp zuiver goud moest wegen. Goud is een edelmetaal en heeft een soortelijk massa van SMgoud=19,32kg per liter. En voor alle duidelijkheid, dat is zwaar. Zo heeft water een massa van SMwater=1,0kg per liter. Zilver is veel lichter, maar nog altijd tien keer zo zwaar als water per liter. SMzilver=10,50kg per liter. Goud is dus 19,32/10,50=1,84 keer zo zwaar als zilver.
Om een idee te krijgen over de massa van een kroon heb ik informatie over de Engelse kroon (van St Eduard) gevonden die Koningin Elisabeth II droeg tijdens haar kroning in 1952. Die kroon was dermate zwaar (2,2Kg) dat ze er enkele weken voor de kroning zo nu en dan mee rondliep om te oefenen. Je kunt die kroon overal zien op brievenbussen en postzegels. Hij dateert van 1661 en is van puur goud. Bij kroningen werden er voor de gelegenheid de edelstenen bij gehuurd en erin gezet. Toen Engeland in Zuid-Afrika de diamantmijnen exploiteerde waren er juwelen genoeg en konden ze na 1911 blijven zitten.
Veronderstel nu dat de goudsmid een klomp zuiver goud had gekregen van 2,2Kg. Dan neemt de kroon een volume V in die gelijk is aan de massa gedeeld door het soortelijk gewicht. Dus V = Massa / SMgoud. Dus V=2,2/19,32= 0,112 Liter. Dat is ongeveer het volume van een plastic bekertje.
De Bedrieger ontmaskerd
Als de kroon van puur zilver zou zijn geweest, dan moet bij een gelijk gewicht van 2,2Kg een groter volume worden ingenomen. Dus V=2,2/10,50=0,210 Liter en dat scheelt letterlijk een slok op een borrel.
De goudsmid is niet dom. Het is waarschijnlijker dat hij maar een gedeelte van het zilver door het goud zal mengen. Dan heeft hij toch noch een aardig zakcentje. Voorwaarde is dat hij 2,2Kg aan “kroon” maakt, waarvan bijvoorbeeld 1,8kg Goud en 0,4kg Zilver. Het volume dat deze legering inneemt wordt:
Vkroon = Vgoud + Vzilver = 1,8/19,32 + 0,4/10,50 = 0,131 Liter
En dat is 0,131-0,112=0,019 Liter meer dan bij een kroon van puur goud.
Het volume wordt dus bepaald door het “gewogen” gemiddelde van de twee metalen zilver en goud. We zetten het percentage zilver uit tegen het te meten volume. Dat brengt ons naar de figuur, waar we een rechte lijn zien, tussen 0,112 en 0,210 Liter.
Waterverplaatsingen zijn goed meetbaar en Archimedes heeft kunnen vaststellen dat bij een V=0,131Liter het zilverpercentage tegen de 20% liep. De bedrieger werd ontmaskerd. We weten niet hoe het met die goudsmid is afgelopen, maar Archimedes heeft met zijn “aha-moment” zijn punt kunnen maken en, niet onbelangrijk, hij was aardig op weg om die wet van de opwaartse kracht te bedenken.
Literatuur: In Wikipedia alles over Archimedes, de legende en St. Eduards Kroon.
Noot: In de natuurkunde maken we onderscheid tussen massa en gewicht. Hier is gekozen voor massa, zodat dit verhaal ook opgaat op de maan of in een ruimteschip.
Tekening: Joop van Eck
