Als je door Hees loopt, dan kan het gebeuren
dat je uit een woning muziek hoort. Dat geluid komt dan uit een versterker met
boxen of, en dat is wel net zo leuk, uit een live spelend muziekinstrument. Ik
wil het met u hebben over hoe dat zit met die geluidstrillingen. Hoe het zit bijvoorbeeld
met hoe vals of hoe mooi muziek kan klinken wanneer je instrumenten niet goed of
bijna goed stemt? Daar is in de muziek nogal wat over te doen geweest, en nog (Google eens "stemmingen" met Jan Vayne, Divine 9; Rameau;
Pythagoras).
Ladders en trillingen
Om iets van stemmingen te begrijpen is het
handig om het toetsenbord van een piano te leren kennen. Zo’n
klavier bestaat uit een zich herhalende reeks witte (7 stuks) en een reeks zwarte
(5 stuks) toetsen. Een totaal van 12 dus.
Speel je alleen de witte toetsen en je begint bij de C, dan krijg je een
toonladder: do, re, mi, fa sol, la, si, do.
De eerste en de tweede C klinken
heel erg hetzelfde. We noemen de afstand tussen die twee tonen een octaaf. Als
je de “la” speelt (ofwel de A), dan kun je opnieuw een ander octaaf krijgen door
een A hoger te spelen.
Een snaar die een octaaf hoger klinkt, trilt
twee zo snel. De trilling van een A is bijvoorbeeld 440 keer per seconde (we
noemen dat de Hertz [Hz] in de natuurkunde), terwijl het een octaaf hoger met
880Hz trilt. Zoals zo veel zaken vroeger lagen de frequenties niet precies vast
en werd er maar wat aangegokt. Het was ook erg lastig om die frequentie
absoluut te meten.
Pas na de uitvinding van de stemvork in 1711 ging
dat een stuk beter en schoof de frequentie voor de A langzaam naar de 440Hz van nu. Het is vanuit deze A, dat we
gaan “stemmen”.
Gelijkzwevendheid
Op een piano kun je allemaal halve tonen
spelen door de zwarte toetsen in het spel te betrekken, dus C, C#, D, D#, E
etc. (zie figuur). De toonafstand tussen twee opvolgende toetsen is bij een
piano altijd exact gelijk. Preciezer gezegd: de verhouding tussen de twee frequenties van twee opvolgende toetsen
(halve tonen dus), is altijd gelijk. We noemen dit gelijkzwevendheid. De vraag
is nu: met welk percentage moet ik de frequentie van 440Hz verhogen, zodanig
dat je na twaalf toetsen op een dubbele frequentie (octaaf) van 880Hz uitkomt?
Op zich is dat nog niet zo gemakkelijk te berekenen, maar wellicht wordt het duidelijk
als we er wat huishoudeconomie bij halen.
Stel je verdient € 440,- per maand. Hoeveel
procent loonsverhoging per maand moet je er dan bij krijgen om na 12 maanden
het dubbele te verdienen? Als je er iedere maand 10% van het nieuwe bedrag bij
krijgt, kom je op € 1381,-. Dat is te veel. Bij 5% kom je op € 790,- en dat is te
weinig. Je kunt het precies uitrekenen: bij 5,946% komt het goed uit (Voor de
kenners: 21/12=1,05946).
Als de frequentie vanaf 440Hz dus iedere keer
met bijna 6% wordt verhoogd, dan kom je na 12 keer weer precies op een octaaf
uit. De E (die boven de A zit), komt dan op 659Hz uit, en de hoogste B (in de
figuur) wordt 988Hz. Tegenwoordig is het met een Ipod app een fluitje van een
cent om een piano gelijkzwevend te stemmen, maar zonder dit hulpmiddel is het
knap lastig en met dit hulpmiddel eigenlijk ook wel. De opleiding tot een pianostemmer duurt dan ook drie jaar.
Toonafstanden en nog meer trillingen
Vroeger stemde iedereen zijn eigen instrument op
zijn eigen wijze. Dat gebeurde puur op het gehoor, vanuit de natuurlijke
trillingen en zwevingen van snaren. Om dat te begrijpen, kijken we naar de
snaar van een viool. Als je een snaar aanslaat, gaat hij trillen met een zekere
frequentie (bijvoorbeeld 440Hz). Dat kun je niet alleen horen maar ook goed
zien (figuur 3). Zo’n snaar die tussen twee vaste punten (knopen) trilt,
produceert zijn grondtoon. Om een snaar een octaaf hoger te laten klinken moet
je hem de helft korter maken. Je kunt dit ook doen door te voorkomen dat de snaar
in het midden gaat trillen. De snaar trilt dan precies in zijn 1ste
boventoon (880Hz). Je kunt de snaar ook op een derde vasthouden (figuur) om de
2de boventoon te krijgen (1320Hz). Het zijn deze natuurlijke boventonen
waarmee de mens is opgegroeid. Ze zijn relatief eenvoudig op snaarinstrumenten
te maken en ze ontstaan ook spontaan. Al die boventonen van snaren geven kleur
aan een instrument.
Het blijkt dat de toonafstanden in onze do-re-mi
toonladder van nature mooie verhoudingsgetallen zijn van frequenties. Dat
vinden we gewoon lekker klinken. We spreken van reine toonafstanden. Een kwint
(van “la” naar “mi” van A naar E) bijvoorbeeld heeft ten opzichte van zijn
grondtoon een verhouding van 2:3 (440 en 660Hz) en dat heeft alles te maken met
die 2de boventoon (want 660Hz is precies de helft van 1320Hz!). Een
viool heeft vier snaren: De G, D, A en E snaar. Als de A snaar 440Hz is, dan
kan de violist door goed te luisteren de E snaar (kwint) op 660Hz krijgen door
tegelijkertijd de A en de E snaar aan te strijken. Die twee tonen zullen
onderling een klein beetje zweven als de E niet precies gelijk is aan die
660Hz. Een ervaren violist gebruikt dus niet de Iphone, maar de oren.
Zuiver genieten
We hebben nu bij twee instrumenten de E ten
opzichte van de A (kwint) bepaald. Bij de piano was dat 659Hz en bij de viool 660Hz.
Die frequenties zijn dus net NIET gelijk. Wat we zien is, dat dit hele
snarenspel met zijn boventonen niet past bij het eerdere verhaal van die
kunstmatige verhouding van 1,05946 waarmee een piano is gestemd. En hier raken
we precies het conflict van rein gestemde vioolsnaren en gelijkzwevend gestemde
piano’s, want je kunt je natuurlijk afvragen of een fatsoenlijk mens dat hoort.
Het antwoord is: Ja, dat kun je horen. Het wordt nog erger als je een reine B vanuit
de E (660Hz) wilt maken, want die moet weer 2:3 zijn, dus 990Hz. Dat scheelt
2Hz met de “valse” B op de piano van 988Hz. Met maar twaalf toonafstanden is
het onmogelijk om alle boventonen van alle snaren in te passen. De stemming van
een vleugel (en vele andere instrumenten) is daarom een compromis.
Eeuwenlang is er gesteggeld over dat compromis,
omdat zo’n reine stemming zo mooi klinkt en zo’n gelijkzwevend gestemde piano,
gitaar, saxofoon, klarinet of hobo altijd net een beetje vals klinken. In dat
opzicht zijn de violisten en de zangers geluksvogels, want zij kunnen met hun
vingers of stem én oren altijd natuurlijke (reine) toonafstanden maken. Ga eens
luisteren naar een strijkkwartet, zonder piano dus, in de Vereeniging en geniet
van die zuiverheid. Of zijn we zo verpest door de gelijkzwevendheid van piano’s
dat we dat weer lelijk vinden?
Illustratie: Joop van Eck
