Snaren: zwevend of rein

Als je door Hees loopt, dan kan het gebeuren dat je uit een woning muziek hoort. Dat geluid komt dan uit een versterker met boxen of, en dat is wel net zo leuk, uit een live spelend muziekinstrument. Ik wil het met u hebben over hoe dat zit met die geluidstrillingen. Hoe het zit bijvoorbeeld met hoe vals of hoe mooi muziek kan klinken wanneer je instrumenten niet goed of bijna goed stemt? Daar is in de muziek nogal wat over te doen geweest, en nog (Google eens "stemmingen" met Jan Vayne, Divine 9; Rameau; Pythagoras).

Ladders en trillingen

Om iets van stemmingen te begrijpen is het handig om het toetsenbord van een piano te leren kennen. Zo’n klavier bestaat uit een zich herhalende reeks witte (7 stuks) en een reeks zwarte (5 stuks) toetsen. Een  totaal van 12 dus. Speel je alleen de witte toetsen en je begint bij de C, dan krijg je een toonladder: do, re, mi, fa sol, la, si, do. 

De eerste en de tweede C klinken heel erg hetzelfde. We noemen de afstand tussen die twee tonen een octaaf. Als je de “la” speelt (ofwel de A), dan kun je opnieuw een ander octaaf krijgen door een A hoger te spelen.

Een snaar die een octaaf hoger klinkt, trilt twee zo snel. De trilling van een A is bijvoorbeeld 440 keer per seconde (we noemen dat de Hertz [Hz] in de natuurkunde), terwijl het een octaaf hoger met 880Hz trilt. Zoals zo veel zaken vroeger lagen de frequenties niet precies vast en werd er maar wat aangegokt. Het was ook erg lastig om die frequentie absoluut te meten.

Pas na de uitvinding van de stemvork in 1711 ging dat een stuk beter en schoof de frequentie voor de A langzaam naar de  440Hz van nu. Het is vanuit deze A, dat we gaan “stemmen”.

Gelijkzwevendheid

Op een piano kun je allemaal halve tonen spelen door de zwarte toetsen in het spel te betrekken, dus C, C#, D, D#, E etc. (zie figuur). De toonafstand tussen twee opvolgende toetsen is bij een piano altijd exact gelijk. Preciezer gezegd: de verhouding tussen de twee frequenties van twee opvolgende toetsen (halve tonen dus), is altijd gelijk. We noemen dit gelijkzwevendheid. De vraag is nu: met welk percentage moet ik de frequentie van 440Hz verhogen, zodanig dat je na twaalf toetsen op een dubbele frequentie (octaaf) van 880Hz uitkomt? Op zich is dat nog niet zo gemakkelijk te berekenen, maar wellicht wordt het duidelijk als we er wat huishoudeconomie bij halen.

Stel je verdient € 440,- per maand. Hoeveel procent loonsverhoging per maand moet je er dan bij krijgen om na 12 maanden het dubbele te verdienen? Als je er iedere maand 10% van het nieuwe bedrag bij krijgt, kom je op € 1381,-. Dat is te veel. Bij 5% kom je op € 790,- en dat is te weinig. Je kunt het precies uitrekenen: bij 5,946% komt het goed uit (Voor de kenners: 2^1/12=1,05946).

Als de frequentie vanaf 440Hz dus iedere keer met bijna 6% wordt verhoogd, dan kom je na 12 keer weer precies op een octaaf uit. De E (die boven de A zit), komt dan op 659Hz uit, en de hoogste B (in de figuur) wordt 988Hz. Tegenwoordig is het met een Ipod app een fluitje van een cent om een piano gelijkzwevend te stemmen, maar zonder dit hulpmiddel is het knap lastig en met dit hulpmiddel eigenlijk ook wel. De opleiding tot een pianostemmer duurt dan ook drie jaar.  

Toonafstanden en nog meer trillingen

Vroeger stemde iedereen zijn eigen instrument op zijn eigen wijze. Dat gebeurde puur op het gehoor, vanuit de natuurlijke trillingen en zwevingen van snaren. Om dat te begrijpen, kijken we naar de snaar van een viool. Als je een snaar aanslaat, gaat hij trillen met een zekere frequentie (bijvoorbeeld 440Hz). Dat kun je niet alleen horen maar ook goed zien (figuur 3). Zo’n snaar die tussen twee vaste punten (knopen) trilt, produceert zijn grondtoon. Om een snaar een octaaf hoger te laten klinken moet je hem de helft korter maken. Je kunt dit ook doen door te voorkomen dat de snaar in het midden gaat trillen. De snaar trilt dan precies in zijn 1^ste boventoon (880Hz). Je kunt de snaar ook op een derde vasthouden (figuur) om de 2^de boventoon te krijgen (1320Hz). Het zijn deze natuurlijke boventonen waarmee de mens is opgegroeid. Ze zijn relatief eenvoudig op snaarinstrumenten te maken en ze ontstaan ook spontaan. Al die boventonen van snaren geven kleur aan een instrument.

Het blijkt dat de toonafstanden in onze do-re-mi toonladder van nature mooie verhoudingsgetallen zijn van frequenties. Dat vinden we gewoon lekker klinken. We spreken van reine toonafstanden. Een kwint (van “la” naar “mi” van A naar E) bijvoorbeeld heeft ten opzichte van zijn grondtoon een verhouding van 2:3 (440 en 660Hz) en dat heeft alles te maken met die 2^de boventoon (want 660Hz is precies de helft van 1320Hz!). Een viool heeft vier snaren: De G, D, A en E snaar. Als de A snaar 440Hz is, dan kan de violist door goed te luisteren de E snaar (kwint) op 660Hz krijgen door tegelijkertijd de A en de E snaar aan te strijken. Die twee tonen zullen onderling een klein beetje zweven als de E niet precies gelijk is aan die 660Hz. Een ervaren violist gebruikt dus niet de Iphone, maar de oren. 

Zuiver genieten

We hebben nu bij twee instrumenten de E ten opzichte van de A (kwint) bepaald. Bij de piano was dat 659Hz en bij de viool 660Hz. Die frequenties zijn dus net NIET gelijk. Wat we zien is, dat dit hele snarenspel met zijn boventonen niet past bij het eerdere verhaal van die kunstmatige verhouding van 1,05946 waarmee een piano is gestemd. En hier raken we precies het conflict van rein gestemde vioolsnaren en gelijkzwevend gestemde piano’s, want je kunt je natuurlijk afvragen of een fatsoenlijk mens dat hoort. Het antwoord is: Ja, dat kun je horen. Het wordt nog erger als je een reine B vanuit de E (660Hz) wilt maken, want die moet weer 2:3 zijn, dus 990Hz. Dat scheelt 2Hz met de “valse” B op de piano van 988Hz. Met maar twaalf toonafstanden is het onmogelijk om alle boventonen van alle snaren in te passen. De stemming van een vleugel (en vele andere instrumenten) is daarom een compromis.

Eeuwenlang is er gesteggeld over dat compromis, omdat zo’n reine stemming zo mooi klinkt en zo’n gelijkzwevend gestemde piano, gitaar, saxofoon, klarinet of hobo altijd net een beetje vals klinken. In dat opzicht zijn de violisten en de zangers geluksvogels, want zij kunnen met hun vingers of stem én oren altijd natuurlijke (reine) toonafstanden maken. Ga eens luisteren naar een strijkkwartet, zonder piano dus, in de Vereeniging en geniet van die zuiverheid. Of zijn we zo verpest door de gelijkzwevendheid van piano’s dat we dat weer lelijk vinden?

Bronnen: diverse websites, Pythagoras, mijn piano.
Illustratie: Joop van Eck