Drie Deuren, twee Prullen en een Auto

 Ik weet niet of iedereen zich die quiz nog herinnert van Willem Ruis, waarbij tijdens De Willem Ruis Lottoshow de “winnaar” zich voor drie deuren geplaatst zag, waarachter één daarvan een auto zat. Dit verhaal gaat over hebzucht en kiezen onder voorwaarden en dit alles weer naar aanleiding van een recentelijk verschenen boekje van Ionica Smeets (Het Wiskundemeisje dat nu professor is aan de Uni van Leiden) en Jan Beuving (wiskundig cabaretier), waarin dit “drie deuren probleem” centraal staat.

Hoe zat het ook alweer. Een kandidaat wordt voor drie deuren geplaatst, waarvan achter één zo’n deur een auto zit, en achter de andere twee deuren een prul zit. De kandidaat mag uit één van die deuren kiezen. Op het moment dat hij/zij een deur gekozen heeft, opent Willem een andere deur, waarachter een prul zit. Willem zegt: Wil je van deur wisselen? Je hebt niet veel tijd en de vraag is natuurlijk wissel je wèl of wissel je nìet. Op zich lijkt het antwoord simpel: het maakt geen snars uit, achter die andere deur zit of een prul of een auto en dat was bij jouw eerste keus ook het geval. Kortom de kans lijkt 50%. Er zijn oneindig veel brieven geschreven over wat de handigste keus is, want die is er. En dat heeft te maken met het feit dat de quizmaster weet waar het prul zit, want hij opent de deur met dat prul en niet die ander met de auto. Er zit, zoals dat heet een nieuwe conditie bij de volgende beslissing. 

De aanvankelijke kans om achter een van de deuren een auto te treffen is 1 op 3 (33%), maar zodra ik een tweede kans krijg neemt die kans toe. Stel dat je aanvankelijk een prul had gekozen, dan is de kans op een auto te winnen tweemaal zo groot als je wisselt. Dus 66%. De conclusie is dus: wisselen maakt de kans op een auto te winnen groter.

Het wordt misschien nog duidelijker als we 100 deuren hebben met 1 auto. Je kiest 1 deur (1% kans op de auto) en Willem opent nu al die andere 98. Als je dan wisselt, is de kans 99%!

Ben je nog niet geheel overtuigd van de “redenering”, dan is het verstandig om een zogenaamde waarheidstabel te maken, waarin alle mogelijkheden langskomen, wanneer de kandidaat van deur wisselt. Het is een mooie oefening in het afstruinen van de mogelijkheden, die tegenwoordig alleen nog door computers wordt gedaan, maar heel instructief is voor het maken van kanssommen.

We noemen de deuren: Deur1, Deur2 en Deur3 en we bekijken alle uitkomsten als ik wissel.

Het is voldoende om de eerste drie regels van de tabel door te nemen. De andere zes zijn wat redenering betreft natuurlijk precies hetzelfde.

Als we uitgaan van het feit dat Auto achter Deur1 zit, kan ik kiezen uit drie mogelijkheden: Deur1, Deur2, Deur3. Kies ik Deur1 (ik zat dus goed), dan zal Willem of Deur2 of Deur3 openen, terwijl ik, als ik wissel, Deur3 of Deur2 moet nemen. De uitkomst voor mij is: Helaas een Prul.

We stappen naar de volgende regel: Ik kies voor Deur2, Willem moet dan voor Deur3 kiezen, en als ik wissel moet dat Deur1 worden: ik win een Auto.

Bij de derde regel kies ik voor Deur3, Willem moet Deur2 kiezen, en opnieuw is Deur1 mijn deel: ik win weer de Auto.  Dus als AUTO achter Deur1 zit, dan heb ik dus 66% kans om hem bij een deurwissel te winnen. Samengevat: Als ik aanvankelijk goed had gekozen (33%), heb ik bij wisselen pech, en als ik aanvankelijk fout had gekozen heb (2x33%) heb ik bij wisselen gewonnen.

Precies hetzelfde verhaal gaat natuurlijk op voor als AUTO achter Deur2 of Deur3 zit.

 

Dit prachtige voorbeeld van “conditionele waarschijnlijkheid” leert ons hoe je intuïtie er behoorlijk naast kan zitten als je onder zware stress voor het “betere” moet kiezen. Nu is zo’n extra deur openen natuurlijk een heel speciaal voorbeeld, maar in de praktijk zijn er maar weinig kansprocessen, die niet worden beïnvloed door wat er aan vooraf is gegaan. 

 

Het leven barst van waarschijnlijkheden die worden beïnvloed door een bepaalde “conditie”. Er zijn hele boeken over geschreven. Ik noem een paar voorbeelden:

 

Een pasgeborene in ons land een bepaalde kans zo’n 82 jaar worden (levensverwachting). Iemand die de eerste 76 jaren van zijn leven heeft overleefd heeft een veel grotere kans die leeftijd te halen, terwijl iemand van 81,99 jaar bijna 100% kans heeft. En als iemand zijn hele leven “ongezond” geleefd heeft wordt de kans ook lager om 82 jaar te worden.

 

Bij bevolkingsonderzoeken naar bijvoorbeeld hartklachten, maakt het nogal uit of je een willekeurige steekproef doet, of wanneer iemand met wat klachten bij zijn huisarts komt en een onderzoek krijgt. Terwijl het dan nog helemaal niet zeker is dat het onderzoek een positieve uitslag zal zgeven. Hypochonders genoeg in deze wereld.

 

En wat te denken van al die Covid-testjes destijds: Hoe betrouwbaar waren de testjes bij een positieve of een negatieve uitslag in de zomerdip of in de winterpiek.

De Tweede kamer is er nog vol van met haar enquête (sept 2026). 

 

Bronnen: 

Jan Beuving; Ionica Smeets: “de auto, de geit en de wiskunde” 

Tom Chivers: “Everything is predictable”  

Chatgpt en Wikipedia: voor de details uit het verleden met Willem Ruis en zijn Lottoshow in de tachtiger jaren 

 

Dick (76) is een natuurkundige met nog volop kansen in het leven, hoopt hij.

Brandstofprijzen

De laatste maanden is er veel gedoe over de brandstofprijzen. Dat komt vooral omdat Poetin Oekraïne binnenviel en omdat Trump en Netanyahu Iran lastigvielen. Beide gebeurtenissen blokkeerden de aanvoer van gas en olie.

Maar wie verdient er nou aan die hoge prijzen, die wij aan de pomp moeten betalen.

Van Pompprijs naar Handelsprijs

 Er zijn verschillende partijen die direct aan de brandstof verdienen: De Oliedelver, de oliehandelaar, de kraker, de transporteur en de pomphouder en dan is er nog de overheid die belastingen heft. In veel gevallen is er één oliemaatschappij, die zowel delft, handelt, kraakt als transporteert. We noemen dat een verticaal geïntegreerd bedrijf, dat in de hele olieketen een vinger in de “olie” heeft.

 

Bij brandstof aan de pomp is het meestal zo, dat de prijs onmiddellijk stijgt of daalt bij onrust op de markt. De olieprijs is een springerig (volatiel) ding. 

 

Op 1 april betaalden we gemiddeld aan de pomp 2,35EU voor een liter Euro95. De overheid is de eerste slokop, want we betalen BTW over de Pompprijs, terwijl er in die prijs ook nog een toeslag zit (inclusief het kwartje van Kok), waarover we ook nog eens die BTW moeten afrekenen. In “formule” ziet dat er als volgt uit:

 

Pompprijs = (Handelsprijs + Toeslag) + BTW x (Handelsprijs + Toeslag).    (1)

In Nederland is het btw-tarief 21% (0,21) en die toeslag bedraagt 0,811EU.

Als we de pompprijs weten, kunnen we de Handelsprijs eenvoudig berekenen met (1):

 

                  Handelsprijs = Pompprijs/(1+BTW) – Toeslag                               (2)

 

Betaal je op 1 april 2,35 EU aan de pomp, dan is de Handelsprijs 1,13EU

                 

Aan de overheid betaal je dus de Pompprijs minus de Handelsprijs en dat is in dit geval 1,22EU. Dus als er iemand geld overhoudt aan de brandstof, dan is het wel de overheid. Nederland is een van de duurste landen ter wereld als het om benzine gaat. 

 

Voor Diesel geldt dezelfde berekening, al is de overheidstoeslag wel lager, namelijk 0,55EU/liter terwijl de pompprijs 2,49EU is. De handelsprijs ligt nu veel hoger dan bij de benzine: 1,51EU, terwijl de overheid er iets minder aan verdient: 0,98EU. Die handelsprijs schoot op 1 april door het plafond, zeg maar, omdat men verwachtte dat er tekorten zouden komen.

 

Olievatprijzen

Nu we zicht hebben op de handelsprijzen, kunnen we kijken wat de verdiensten van de handelaren zijn. In de wereldhandel gaat men altijd uit van wat een vat (Brent) ruwe olie kost. Ruwe olie is zo’n beetje het spul dat uit de grond wordt gepompt. Nu zul je tegenwoordig nog weinig vaten tegenkomen, maar het is nog steeds de eenheid waarmee we in de wereld de olieprijs in dollars berekenen. Een Brent is 159 liter en kostte op 1 april 2026 101,16$. Dus een liter ruwe olie kostte die dag 0,64$ oftewel 0,55EU. Bedenk dat deze brentprijs erg kan schommelen en gaat stijgen zodra de olietoevoer of energietoevoer dreigt te worden onderbroken. Bedenk ook, dat bij politieke onrust er op zee tankers varen met onverkochte ruwe olie en dat er in de raffinaderijen (Rotterdam) ook flinke voorraden liggen van zowel ruwe olie, benzines, als diesel. Normaal schommelt de olievatprijs tussen de 60$ en 85$, maar in 2022 toen het gas uit Rusland stopte vloog de prijs zelfs naar 135$. Iets dergelijks gebeurde begin dit jaar toen een vat olie 100$ moest kosten (zie grafiekje).

Winstmarges

Omdat we de Handelsprijs van Benzine en Diesel hadden uitgerekend, kunnen we kijken welke marge er zit tussen de Handels- en de Brentprijs.

Marge Benzine (1,13-0,55) = 0,58EU en de marge op Diesel (1,51-0,55) = 0,96EU. De kosten die je nodig hebt om de ruwe olie aan de pomp te krijgen zijn de volgende:

Transport/opslag via leidingen of tankers; raffinage (kraken) naar kerosine, benzine of diesel; de pomphouder; en tenslotte winstmarge (dat noemen ze “crack spread”). Dus niet alleen de brentprijs is schommelend, maar ook de prijs van het eindproduct en met name diesel schoot omhoog, waarmee “de crack spread” toenam. Dus extra veel winsten voor de olieboeren.

Naar het Buitenland

 Hoe zit het bij onze buren. De verschillen zitten eigenlijk alleen in de btw en de toeslagen. De internationale handelsprijzen zijn binnen Europa wel zo’n beetje hetzelfde.

In Duitsland schelen de toeslagen normaal niet zo vreselijk veel (D: 0,684EU), sterker nog, in Duitsland wordt de CO₂ bijdrage apart vermeld, terwijl die in Nederland in de prijs zit (hoop ik). De grote verschilmaker is de Duitse BTW van 19%, terwijl er per 1 mei ook nog een noodverlaging van 0,14EU heeft plaatsgevonden.

 

In België, Frankrijk en Luxemburg zijn de toeslagen ook lager (B: 0,60EU; Fr: 0,68EU; L: 0,48EU), terwijl Luxemburg met maar 17% BTW de benzineprijs extra laag houdt om toeristen te trekken.

 

Het goede nieuws is, dat de hoge energieprijzen de energietransitie van olie naar zon versnellen en dat we misschien eerder de bus of de trein pakken, maar de meeste mensen nemen liever de auto: vlug, veilig maar niet voordelig. En nog iets: In de Lucht- en Scheepvaartbranche wordt nauwelijks accijns geheven op kerosine en diesel.

Bronnen:

Tekening: Joop van Eck

IEX: beleggingsplatform in Nederland; Rijksoverheid.nl over accijnzen

AI voor het opzoeken van al die toeslagen op 1 april 2026 voor Benzine en Diesel

Artikel in de Volkskrant van 7 mei 2026

 

De schrijver is een natuurkundige die met zijn Captur (1:19) 10,000km per jaar rijdt (altijd nog zo’n 500 liter).

Kiezen en Delen

 Het gebeurt tegenwoordig bijna ieder jaar dat we naar de stembus moeten om onze burgerplicht te vervullen. We stemmen voor de Tweede Kamer, de Provincie, de Gemeenteraad, het Waterschap, of een volksraadpleging. Zo bepalen we als landelijk collectief wie er de komende tijd ons land gaat besturen. Maar hoe komt de zetelverdeling nou precies tot stand en hoe kunnen we ervoor zorgen dat meer vrouwen in bestuursorganen komen. Over kiezen en restzetels èn hoe het zat in onze wijk.

De instantie die alle uitslagen controleert en de verkiezingen met de gemeenten organiseert is de kiesraad. In dit college zitten van huis uit hogere ambtenaren zonder politieke voorkeur. Het is dit college dat uiteindelijk het fiat geeft voor de definitieve uitslag (kijk op kiesraad.nl). 

De getallen

Bij de afgelopen verkiezingen telde Nederland 13.589.128 (A) stemgerechtigden, waarvan er 10.640.324 (B) hun stem hebben uitgebracht. Dat levert een opkomstpercentage van  B/A = 78,3%. Van die stemmers konden 28.206 het hokje niet goed ingevuld krijgen en stemden 40.128 mensen op niets (blanco). Er blijven daarmee 10.571.990 (C) uitgebrachte geldige stemmen over om 150 (D) Kamerzetels te verdelen. Om een zetel te bemachtigen moet je de kiesdeler halen en dat is 1/150-ste deel van de geldige stemmen. Deze  kiesdeler is dus gelijk aan C/D= 10.571.990 /150 = 70.480  stemmen (of 0,666667% van de stemmen). Haal je dit minimum niet, dan doe je niet meer mee (dat overkwam NSC met 0,5591 zetel en levert en 0 in “kolom 2” in tabel 1). Bedenk, dat bij onze oosterburen die drempel 5% is.

In de tabel (1) zie je de eerste zetelverdeling van de zogenaamde volle zetels. De PVV had bijna 25 zetels en de BBB bijna 4 zetels (kolom “Zetels” en “VOL”) 

Tabel 1: Uitslagen en landelijke zetelverfeling

Als je op deze manier alles bij elkaar veegt kom je bij lange na niet aan de 150 zetels. In ons geval zijn dat er 139 (Kolom “VOL”).  De vraag is nu hoe je deze 11 restzetels over de partijen gaat verdelen in een democratie waar je uitgaat van een zo evenredig mogelijke volksvertegenwoordiging, waarbij iedere stem telt.

 

Restzetels

Er zijn verschillende methodes bedacht om daar een fatsoenlijk algoritme voor te vinden, waarbij iedereen het gevoel moet hebben, dat het fair is. De eenvoudigste manier is te kijken welke partijen in volgorde het dichtst bij een nieuw zetel zitten (kijk naar het getal achter de komma van kolom “Zetels”). In dit systeem krijgt de PVV, BBB, JA21 etc er in ieder geval één bij . Maar ook de kleinere partijen (CU, SP, Forum, CDA, VOLT, DENK, D66 en SGP) doen op die manier mee, want per partij kun je op deze manier maar één zetel verdienen.

 

Een andere manier is die van Mr. Victor d’Hondt een Belg uit Gent,  die leefde van (1841-1901). Hij keek naar het zetelgemiddelde van het aantal stemmen van een partij wanneer hij er één zetel bij zou krijgen. De partij met dit grootste gemiddelde (PVV 1760966/25 = 70438) krijgt de eerste restzetel, waardoor het gemiddelde in de volgende ronde achteruit (1760966/26 = 67729) gaat. Bij de volgende restzetel herhaalt de procedure zich en krijgt de BBB die zetel (279916/4= 69979) en daarna JA21. Bedenk dat alle partijen iedere ronde weer meedoen tot de restzetels op zijn. Door dit algoritme te gebruiken krijgt de PVV er zelfs twee zetels bij en GL/PvdA krijgt er ook nog een. Kortom deze methode is gunstig voor de grotere partijen. In de laatste kolom zie je dat de SP zijn graantje 66528) meepikt.

Het uiteindelijke resultaat zien we in de laatste kolom “Eind”. In restzetels is de PVV dus de grote winnaar met twee extra zetels. Dus Geert had dus geen enkele reden tot klagen.

 

Nijmegen en Hees

Het is interessant om na te gaan hoe de kamerverdeling in Nijmegen en in onze wijk zou zijn. We gebruiken precies hetzelfde algoritme en komen uit op tabel 2. Het valt op dat in Nijmegen, Hees (met 3 stembureaus) en Zwembad-West het aantal restzetels 8 stuks bedraagt. En hier zijn Gl/PvdA en D66 de grote overwinnaars in de restzetels. Je kunt goed zien dat de grotere partijen hier de kruimels opeten. Het valt ook op dat in Nijmegen Bij1 net boven de kiesdrempel uitkomt

Tabel 2: Uitslagen en zetelverdeling van Nijmegen en Hees 

Vrouwen en Frans

Het duurde even voordat de truc tot me doordrong, maar het is mogelijk om meer vrouwen in het parlement te krijgen door op vooral op vrouwen te stemmen die NIET op een verkiesbare plaats staan. Zo is het in Nederland gelukt om vijf extra meiden in het parlement te krijgen en dat komt omdat op basis van voorkeurstemmen er maar 25% van de kiesdeler nodig is om aan een zetel te komen. En dat kan behoorlijk opschieten, want binnen een partij moet je dus 0,25*70.480 = 17.620 voorkeurstemmen zien te halen. Bij GL/PvdA zijn maar liefst vier vrouwen verkozen die op een onverkiesbare plaats stonden. Het was daarom ook de partij waar voorman Frans landelijk maar 38,5% van de stemmen binnen zijn lijst kreeg en in Nijmegen een krappe 25% (bij ons Zwembad-West 21%). Geert (94%) en Rob deden het wat dat betreft beter.

 

Gemeenteraad

In het voorjaar zijn er gemeenteraadsverkiezingen. De regels bij gemeenteraden (39 zetels in Nijmegen zijn in grote lijnen hetzelfde en ook hier kunnen we extra vrouwen in de raad krijgen door vrouwen te stemmen die NIET op een verkiesbare bare plaats staan.

 

Bronnen: Data van de kiesraad.nl en data op de site van de Gemeente Nijmegen

 

Tekening: Joop van Eck

Dick is een natuurkundige, die iedereen aanraadt te gaan stemmen. Het is niet alleen een recht, maar ook een voorrecht.