Drie Deuren, twee Prullen en een Auto

 Ik weet niet of iedereen zich die quiz nog herinnert van Willem Ruis, waarbij tijdens De Willem Ruis Lottoshow de “winnaar” zich voor drie deuren geplaatst zag, waarachter één daarvan een auto zat. Dit verhaal gaat over hebzucht en kiezen onder voorwaarden en dit alles weer naar aanleiding van een recentelijk verschenen boekje van Ionica Smeets (Het Wiskundemeisje dat nu professor is aan de Uni van Leiden) en Jan Beuving (wiskundig cabaretier), waarin dit “drie deuren probleem” centraal staat.

Hoe zat het ook alweer. Een kandidaat wordt voor drie deuren geplaatst, waarvan achter één zo’n deur een auto zit, en achter de andere twee deuren een prul zit. De kandidaat mag uit één van die deuren kiezen. Op het moment dat hij/zij een deur gekozen heeft, opent Willem een andere deur, waarachter een prul zit. Willem zegt: Wil je van deur wisselen? Je hebt niet veel tijd en de vraag is natuurlijk wissel je wèl of wissel je nìet. Op zich lijkt het antwoord simpel: het maakt geen snars uit, achter die andere deur zit of een prul of een auto en dat was bij jouw eerste keus ook het geval. Kortom de kans lijkt 50%. Er zijn oneindig veel brieven geschreven over wat de handigste keus is, want die is er. En dat heeft te maken met het feit dat de quizmaster weet waar het prul zit, want hij opent de deur met dat prul en niet die ander met de auto. Er zit, zoals dat heet een nieuwe conditie bij de volgende beslissing. 

De aanvankelijke kans om achter een van de deuren een auto te treffen is 1 op 3 (33%), maar zodra ik een tweede kans krijg neemt die kans toe. Stel dat je aanvankelijk een prul had gekozen, dan is de kans op een auto te winnen tweemaal zo groot als je wisselt. Dus 66%. De conclusie is dus: wisselen maakt de kans op een auto te winnen groter.

Het wordt misschien nog duidelijker als we 100 deuren hebben met 1 auto. Je kiest 1 deur (1% kans op de auto) en Willem opent nu al die andere 98. Als je dan wisselt, is de kans 99%!

Ben je nog niet geheel overtuigd van de “redenering”, dan is het verstandig om een zogenaamde waarheidstabel te maken, waarin alle mogelijkheden langskomen, wanneer de kandidaat van deur wisselt. Het is een mooie oefening in het afstruinen van de mogelijkheden, die tegenwoordig alleen nog door computers wordt gedaan, maar heel instructief is voor het maken van kanssommen.

We noemen de deuren: Deur1, Deur2 en Deur3 en we bekijken alle uitkomsten als ik wissel.

Het is voldoende om de eerste drie regels van de tabel door te nemen. De andere zes zijn wat redenering betreft natuurlijk precies hetzelfde.

Als we uitgaan van het feit dat Auto achter Deur1 zit, kan ik kiezen uit drie mogelijkheden: Deur1, Deur2, Deur3. Kies ik Deur1 (ik zat dus goed), dan zal Willem of Deur2 of Deur3 openen, terwijl ik, als ik wissel, Deur3 of Deur2 moet nemen. De uitkomst voor mij is: Helaas een Prul.

We stappen naar de volgende regel: Ik kies voor Deur2, Willem moet dan voor Deur3 kiezen, en als ik wissel moet dat Deur1 worden: ik win een Auto.

Bij de derde regel kies ik voor Deur3, Willem moet Deur2 kiezen, en opnieuw is Deur1 mijn deel: ik win weer de Auto.  Dus als AUTO achter Deur1 zit, dan heb ik dus 66% kans om hem bij een deurwissel te winnen. Samengevat: Als ik aanvankelijk goed had gekozen (33%), heb ik bij wisselen pech, en als ik aanvankelijk fout had gekozen heb (2x33%) heb ik bij wisselen gewonnen.

Precies hetzelfde verhaal gaat natuurlijk op voor als AUTO achter Deur2 of Deur3 zit.

 

Dit prachtige voorbeeld van “conditionele waarschijnlijkheid” leert ons hoe je intuïtie er behoorlijk naast kan zitten als je onder zware stress voor het “betere” moet kiezen. Nu is zo’n extra deur openen natuurlijk een heel speciaal voorbeeld, maar in de praktijk zijn er maar weinig kansprocessen, die niet worden beïnvloed door wat er aan vooraf is gegaan. 

 

Het leven barst van waarschijnlijkheden die worden beïnvloed door een bepaalde “conditie”. Er zijn hele boeken over geschreven. Ik noem een paar voorbeelden:

 

Een pasgeborene in ons land een bepaalde kans zo’n 82 jaar worden (levensverwachting). Iemand die de eerste 76 jaren van zijn leven heeft overleefd heeft een veel grotere kans die leeftijd te halen, terwijl iemand van 81,99 jaar bijna 100% kans heeft. En als iemand zijn hele leven “ongezond” geleefd heeft wordt de kans ook lager om 82 jaar te worden.

 

Bij bevolkingsonderzoeken naar bijvoorbeeld hartklachten, maakt het nogal uit of je een willekeurige steekproef doet, of wanneer iemand met wat klachten bij zijn huisarts komt en een onderzoek krijgt. Terwijl het dan nog helemaal niet zeker is dat het onderzoek een positieve uitslag zal zgeven. Hypochonders genoeg in deze wereld.

 

En wat te denken van al die Covid-testjes destijds: Hoe betrouwbaar waren de testjes bij een positieve of een negatieve uitslag in de zomerdip of in de winterpiek.

De Tweede kamer is er nog vol van met haar enquête (sept 2026). 

 

Bronnen: 

Jan Beuving; Ionica Smeets: “de auto, de geit en de wiskunde” 

Tom Chivers: “Everything is predictable”  

Chatgpt en Wikipedia: voor de details uit het verleden met Willem Ruis en zijn Lottoshow in de tachtiger jaren 

 

Dick (76) is een natuurkundige met nog volop kansen in het leven, hoopt hij.