Groei en Krimp

Tijdens de Coronacrisis kom je er niet onderuit, je moet het hebben over groei en krimp. Of het nu gaat over de economie, een virus, een hype of de bevolkingsgrootte het komt allemaal op hetzelfde neer. Dit gaat dus over groter groeien en kleiner krimpen.

Groei, steeds sneller

De meesten van ons zijn vertrouwd met zogenaamde lineaire groei, waarbij er iedere keer hetzelfde stukje bijkomt. Denk bijvoorbeeld aan je haar, dat iedere maand zo’n twaalf millimeter langer wordt, of aan een spaarpot, waar je iedere dag 5 Euro instopt.

 

Waar we sinds de crisis nu veel meer over horen, is de exponentiele groei. Dat is groei die afhangt van het aantal dat er op dat moment is. De relatieve groei is constant. Het levert binnen de kortste keren grote aantallen op.

 

Daar is een mooie legende over, die de te maken heeft met de uitvinding van het schaakspel. De uitvinder gaf het spel aan zijn koning, die zo dankbaar was dat hij de wijze passend wilde belonen. Deze vroeg de vorst om op veld één van het bord 1 korreltje graan te leggen, op het tweede 2, op het derde 4, op het vierde 8 en zo verdubbelt het steeds verder tot het 64^ste veld (zie tekening van Joop). De koning leek het maar een magere beloning, totdat zijn raadsheren erachter kwamen dat er in zijn hele rijk te weinig graan was om aan die vraag te voldoen. Het blijkt dat bij iedere keer een verdubbeling per schaakbordveld je aan het eind (2⁶⁴-1) korrels nodig hebt. Een getal van 20 cijfers! We hebben hier te maken met exponentiele groei. In de tabel zijn de aantallen tot en met het 20^ste schaakbordveld aangegeven in machten van twee.

Tabel: Verdubbelen van de aantallen op ieder nieuw veld van het bord in machten van twee.

Kijken we niet naar schaakbordvelden, maar naar de tijd, dan betekent het dat na een zekere periode altijd weer een verdubbeling optreedt, waarbij de vermeerdering van het aantal afhangt van het aantal op dat moment zelf. We noemen de tijd die nodig is om te verdubbelen eenvoudigweg de “verdubbeltijd” (Tv). In de tabel betekent dat één hokje verder.  In het grafiekje van de figuur staat de groei in aantallen tegen de tijd uitgezet.

Wat voorbeelden van exponentiele groei 

Informatieverspreiding: “hot news” kan zich in een paar uur als een lopend vuur verspreiden. Met de huidige informatietechnologie kan feitenkennis razendsnel over de wereld gaan. Als iedereen twee nieuwe appjes doorstuurt naar zijn vriendjes, zit je na 14 keer doorappen op bijna 33,000 mensen. Nemen we voor Tv=30 seconden.  Dan zijn na 14x30 seconden (=7minuten) die 33,000 mensen bereikt (zie de tabel voor veld HII). Nu is het in de praktijk zo dat in je vriendenkring de informatie zich gaat herhalen (je had het nieuws al gehoord!). Daardoor ontstaat er al gauw een verzadiging omdat het aantal mensen een keer ophoudt. De curve gaat afvlakken.

 

Een “eenvoudige” epidemie: Stel een zieke besmet in drie dagen (Tv=3dagen) één ander persoon terwijl hij zelf doorgaat met besmetten. Dan krijgen we iedere drie dagen een verdubbeling. Het lijkt dan in het begin rustig (zie de blauwe grafiek links), maar al snel wordt het menens. Dat is precies wat we de afgelopen maanden hebben meegemaakt bij het begin van de corona-crisis. Iedereen, politici maar ook wijzelf, onderschatte de snelheid waarmee de besmetting om zich heen greep. 

 

Groeikapitaal: een ander voorbeeld is rente op rente. Bij een vermogen van 50,000EU en een jaarrente van een kleine 6% (kom daar tegenwoordig nog eens om), zal het na 12 jaar verdubbeld zijn (Tv=12 jaar) en na 24 jaar opnieuw. Het heet terecht dus groeikapitaal. De groei wordt minder op het moment dat je je geld of je rente van de bank haalt.

 

De bevolkingsgroei: Als iedere vrouw gemiddeld vier kinderen voortbrengt (mannen tellen ook mee!), die in leven blijven, zal in iedere 30 jaar (Tv) in die generatieperiode de bevolking zijn verdubbeld. Het betekent dat de wereld zou vollopen met alle gevolgen van dien. Er zijn echter in de praktijk mechanismen die ongebreidelde groei tegengaan zoals, jawel, epidemieën, wereldoorlogen en “last but not least”: geboortebeperking. Bij een reproductiegetal van 2,1 in plaats van vier blijft de bevolking in een westers land als Nederland, stabiel.

Krimp

Bij krimp gebeurt precies het tegenovergestelde van groei. Als je iedere maand 6% van je gespaarde geld haalt dat je over hebt, heb je na een jaar de helft over. We spreken van een halfwaardetijd (Th=1jaar). Na twee jaar heb je nog een kwarten na vier jaar een achtste over. Dit is een voorbeeld van exponentiele krimp. 

Bij lineaire krimp haal je iedere maand 6% van het oorspronkelijke bedrag af en heb je na 12 maanden 100-6x12=28% over in plaats van de helft.

Andere voorbeelden van exponentiele krimp zijn de halfwaardetijden van medicijnen (Th is in de orde van dagen) of radioactief verval van isotopen van kerncentrales (Th kan eeuwen duren). 

 

Onze jachtige maatschappij denkt niet graag aan krimp, maar bedenk dat iedere exponentiele groei op een gegeven moment verzadigd (“afvlakking van de curve”). De ene keer gaat dat geleidelijk, dat andere keer gaat het met een “crash” (een beurskrach, een oorlog, een natuurramp) waarna het lieve leven weer opnieuw begint. Met alle dilemma’s waarvoor de mens zich al eeuwen gesteld ziet.

 

Literatuur: In Wikipedia vind je alles over exponentiele groei en afname, kijk ook eens op de site van het RIVM of de World Health Organisation (WHO). Je vindt er veel onderbouwing van de griepgegevens.

Tekening: Joop Van Eck