Kabels en kastjes

Het was best een grote puinzooi toen KPN-medewerkers in de wijk die oranje glasfibers aan het leggen waren. Overal in de grond werden sleuven en putjes gegraven om die oranje kabel bij de huizen te krijgen. Je zag haspels en bossen draad en uiteindelijk kwam er een oranje puntje uit de grond. Hoe zit dat eigenlijk met al die kabels.

KABELS

De glasvezel is de vervanging voor het koperdraadnetwerk. Dit netwerk zorgt ervoor dat je internet kunt ontvangen. Net zoals bij de oude telefoonkabels, heeft iedere abonnee zijn eigen oranje glasvezelkabeltje, dat naar een centrale aansluitkast in de wijk loopt. Die kast bevindt zich in de Pomonastraat en is spiksplinternieuw. Op termijn zal het oude koperdraad overbodig worden.

 

Het grote verschil met die oude koperdraadjes is, dat er geen stroompulsjes, maar licht pulsjes door de kabels gaan. Die lichtpulsjes worden opgewekt door infrarood lasertjes en waargenomen door lichtgevoelige detectors. Het voordeel is dat het signaaltransport door zo’n lichtsysteem veel sneller gaat dan door de klassieke koperdraadjes. Licht gaat nu eenmaal nòg sneller dan elektronen. De kwaliteit van de signalen wordt bepaald door de frequentie waarmee lichtpulsjes (een 1 of een 0, zeg maar) over de kabel kunnen worden gestuurd.

De frequenties bij een glasvezel kunnen oplopen tot maximaal 500.000 Megabit per seconde of in gewoon Nederlands: Het licht gaat in theorie een half miljoen-maal-een-miljoen keer per seconde aan en uit. Bij koperdraad gaan de elektrische signalen veel langzamer, dus daar is een enorme winst te behalen. In de praktijk levert KPN maar een fractie: 100 Megabit/sec  en tegen betaling kan het tien keer zo snel (1000Mb/s). KPN kan de signalen gewoon een beetje meer of minder knijpen.

Voor bedrijven en grote gezinnen met allemaal een eigen HD TV, een eigen spelcomputer en Netflix zijn die hogere frequenties interessant, maar misschien toch niet zo voor ons tweepersoons huishouden.

 

Al die datastromen moeten natuurlijk worden gemanaged. We hebben de digitale huistelefoon, twee TV’s en internet. Er is KPN veel aan gelegen om dat management (provider) op zich te nemen. Om uit de datastromen wijs te worden is een overkoepelende architectuur nodig die ervoor zorgt dat jouw boodschap bij Pietje terecht komt, en dat Jantjes data bij jou terecht komt, waarbij Jantje en Pietje ergens in de wijde wereld wonen, maar meestal bij jou in de buurt. De prijs die je bij KPN betaalt voor dat “datamanagement” ligt al gauw rond de 100EU per maand: 57EU voor de verbinding en de rest voor allerlei abonnementen zoals internet met een emailadres, TV (inclusief Netflix en Spotify) en de vaste telefoon. De laatste zal meer en meer overbodig worden omdat iedereen al een smartphone heeft.

 

KASTJES

Om het signaal over de vezel heen en weer te sturen heb je thuis een ontvanger (fotodetector) en een zender (laser) nodig. Bij ons heeft de netwerkmaatschappij van KPN na al dat graafwerk de glas vezel naar binnen gebracht en twee kastjes opgehangen. Kastje 1 is wit en heet de FTU (Fiber Termination Unit). Dat is het kastje waar de oranje fiber netjes in wordt opgeborgen. Kastje 2 is zwart en heet het NTU (Netwerk Termination Unit) of PON (Passive Optical Network) kastje. In dit kastje wordt het licht dat met een wit fibertje uit kastje 1 komt, in elektrische signalen omgezet en andersom de elektrische signalen in licht omgezet. Er bevindt zich dus zowel een detector als een lasertje in kastje 2, dat elektrisch moet worden gevoed (de lampjesbranden groen als het goed werkt). Je kunt dus signalen ontvangen (downloaden) en je kunt signalen versturen (uploaden). Het is je modem, kastje 3, dat uit de wirwar van al dat “geknipper” de benodigde signalen haalt en het is de router, ook kastje 3, die de signalen over jouw netwerk verdeelt. Er loopt dan ook een internet (UTP) kabel (met zo’n klik stekker) tussen kastje 2 en kastje 3. Dat kastje is speciaal voor mij als gebruiker (user) ingesteld. Het modem/router kastje zorgt ervoor dat mijn huistelefoon, mijn tv-signaal en mijn internet signalen kunnen worden gebruikt in mijn thuisnetwerk. Dat noemen we het LAN (Local Area Network).

MEER KASTJES

Het mag duidelijk zijn, dat je na kastje 3 (de modem/router) nog steeds “geen beeld” hebt, maar dat je aardig op weg bent. De router heeft twee manieren om de signalen bij je apparaten te krijgen. De ene manier is via ethernet (UTP) kabels en de andere is draadloos via Wi-Fi (Wireless Fidelity). Voor de TV heb je een extra kastje (4) nodig, dat bij voorkeur met zo’n ethernet kabel is aangesloten. Kastje 4 verzorgt alle kanalen van je smart TV. Dat zijn er zo’n honderd, waarbij KPN bepaalt wat je ontvangen mag en kan. In de praktijk kijken wij naar hooguit 5 kanalen en mag je niet naar Max Verstappen kijken omdat KPN de uitzendrechten daarvan niet heeft. Bedenk overigens dat het netwerk tot en met kastje 2 openbaar is en dat “iedereen” het netwerk kan huren voor het versturen van internetdata (Tele2, etc.). Ziggo vormt daar dan weer een uitzondering op, die heeft zijn eigen netwerk met coaxkabels van koper.

De FTU, NTU, Modem/Router en LAN

Er zijn veel apparaten die met Wi-Fi werken, zoals verwarming, airco, smartphones, zonnepanelen, IPad, laptops, PC’s. Nu staat Wi-Fi wel voor “draadloze betrouwbaarheid”, maar als je router beneden staat, dan wil het vaak gebeuren dat je boven op zolder nauwelijks signaal hebt. KPN verkoopt je dan graag ondersteunende Wi-Fi zenders die dit probleem voor je oplossen, zodat je daar ook naar hartenlust kunt gamen.

 

Enfin, hier in Hees zijn we er klaar voor, voor nog betere TV, al is het wellicht verstandiger wat meer te sporten en minder achter een beeldscherm te zitten.

 

Bronnen: KPN-folders, Wikipedia over glasvezel en allerlei internet verbindingen

De auteur is golffysicus en stond in de jaren tachtig (bij Philips) mede aan de wieg van de eerste glasfiber toepassingen met diode lasers.

 

 

Tekening: Joop van Eck

Water

 We kunnen er niet omheen, we moeten zuiniger zijn met water. Ogenschijnlijk lijkt het alsof we water in overvloed hebben, maar schijn bedriegt. Voor veel mensen op onze aardbol is water een schaars artikel. Wij in Nederland liggen er nog niet zo wakker.  Ons land maakt deel uit van de delta’s van Maas, Rijn, Schelde en Eems.  

 

Te veel of te weinig

Hadden we vroeger water te veel, tegenwoordig hebben we regelmatig water te weinig. Moesten we vroeger water voortdurende uit onze polders pompen, nu moeten we het er in houden. Het zijn de waterschappen die al sinds de Middeleeuwen het waterpeil voor ons in de gaten houden en ervoor zorgen dat we vroeger droge en tegenwoordig natte voeten houden, ook als was het best een beetje angstig toen in 1995 de Waal tegen onze plinten klotste en de Maas en de Geul deze zomer door te veel neerslag in Zuid-Limburg de mensen uit hun huizen dreef.

 

Al die ellende wordt mede veroorzaakt door de stevige opwarming van de aarde, waarvoor wij als mensen gezamenlijk verantwoordelijk zijn. Het regenwater valt onregelmatig op plaatsen waar het vroeger niet viel en valt niet waar het vroeger wel deed. Het is niet voor niets dat overheden er alles aan doen om ons wat verantwoordelijker met water te laten omgaan. Ook in Nijmegen dragen bewoners hun steentje daaraan bij, door mee te doen aan waterbesparing en Actie Steenbreek.

Ook in ons gezin hebben we gekozen voor vetplantjes op het dak en zijn de gootafvoeren losgekoppeld van het gemeenteriool. 

Tachtigduizend liter per jaar

Maar hoeveel water verbruiken we eigenlijk. In Nederland leven we met de uitzonderlijke luxe dat je water uit de kraan kan drinken. De kwaliteit is vaak beter dan die van een willekeurig flesje bronwater (1000EU/m³!!) en het ligt voor de hand om dat goede water niet nodeloos weg te spoelen. Ik heb eens gekeken naar ons waterverbruik en hoe dat is verdeeld. Het eenvoudigst is het natuurlijk om regelmatig naar de watermeter te kijken. Zo’n apparaat meet je verbruik in kubieke meters met een nauwkeurigheid van een duizendste, dat is dus een liter. We betalen 0,60EU voor een kubieke meter en dat is echt een spotprijs in vergelijking met andere landen (In België/Duitsland is dat 1,8EU/m³). Op onze jaarrekening van Vitens staat dat ons gezin van twee personen 220 liter per dag verbruikt (dat is 80m³/jaar), dat is ruim honderd liter water per persoon per dag, waarbij het effect van dat loskoppelen dit voorjaar nog niet zichtbaar is.

 

Wassen en plassen

In ons Hees gaat het meeste waterverbruik zitten in het sproeien van de tuinen en als je een zwembad hebt gaat het nog harder, maar onderschat het baden en het douchen niet. Om dat te meten, dat waterverbruik, zonder iedere keer naar de meterkast te lopen, is het handig om gedurende bijvoorbeeld 30 seconden een emmertje te laten vollopen, het water te wegen en het verbruik per seconde uit te rekenen. Bij onze douche met waterspaarkop is dat 2 Liter in 30 seconden of 0,067 liter per seconde. We noemen dat het debiet. Als ik dus 5 minuten onder de douche sta, kost me dat dus 20 Liter water. Douche je onder zo’n raindance dan is het debiet ruim viermaal zo groot (0,277L/s) en verplons je 80 liter in vijf minuten. Op jaarbasis wordt dat 2x80x365=58,4 kubieke meter.

 

Het gebruik van (vaat)wasmachines meten is wat lastiger, maar gelukkig biedt internet uitkomst. Onze Bosch vaatwasser gebruikt ruim 10Liter per wasbeurt, waarbij ik hem flink volprop en de vaat een beetje voorspoel (helaas weer een liter) en vijf keer per week gebruik. Onze Miele wasmachine verbruikt zo’n 40 tot 50 Liter per wasbeurt en dat is dus aanzienlijk meer dan de vaatwasser, terwijl hij meer wissewasjes draait. Zo’n zes keer per week, zegt mijn partner.

 

En dan het toilet. Na ieder plasje en poepje wordt er water gespoeld en worden onze spulletjes nagenoeg reukloos het riool in gewerkt. Maar dat heeft natuurlijk wel zijn prijs. Een spoeling kost 4 à 5 Liter dus ga uit van zo’n 20 liter per persoon per dag, dus dat is zo’n 18% van ons waterverbruik. Dat was ruim honderd jaar geleden wel anders: In Nijmegen stonk het, zoals in iedere grote stad, enorm naar poep en pies, terwijl het goedje rechtstreeks de Waal in ging met alle gevolgen van dien.

Sproeien

Tja en dan is ons Hees ook nog een tuinwijk, waarbij de waterdruk bij Vitens zorgelijk in elkaar stort bij lange droge zomers. Om een indruk te geven over welke hoeveelheid het gaat, keren we even terug naar onze raindance met een debiet van 0,27L/s. Bij een zwenksproeier is dat ongeveer hetzelfde. Dat betekent al gauw dat je er per avond zo’n twee kubieke meter doorheen jast. Het kan dus goed zijn dat de helft van je waterverbruik in je tuin gaat zitten en dat is natuurlijk slecht nieuws. Het was voor ons één van de redenen om onze dakgoten af te koppelen van het riool en het water in de vijver en in een tank te geleiden. Met deze zomer zitten beide overigens tjokvol.

 

In de schijfgrafiek zie je ons water jaarverbruik nog eens samengevat.

Niet dat we onszelf er strikt aan houden maar het is leuk wat tips te geven voor onder de douche: Neem zo’n bespaarkop, douche niet langer dan vijf minuten, iedere dag douchen is overbodig en ga er eens samen onder: je geniet langer en je verbruikt minder.

 

Dick is een natuurkundige, met vetplantjes op het dak en afgekoppelde waterafvoeren naar de tuin

 

Literatuur:

Op internet alles over waterverbruik van douchekoppen, vaat- en wasmachines (met dank aan Bosch, Miele liet het afweten).

De Website van Vitens, waar je niet alleen alles kunt terugvinden over je verbruik, maar ook over waterbesparende maatregelen.

 

Tekening: Joop van Eck 

De Menselijke Maat

 Dit keer wil ik het hebben over de BMI, daarmee bedoel ik niet de “Bic-Mac-Index”, een oud bromfietsmerk of een Brand-Meld-Installatie, maar de Body Mass Index. De Index die probeert weer te geven of iemand te zwaar of juist te licht is voor zijn lengte. 

Antropometrie

Zo’n tweehonderd jaar geleden waren geleerden bezig om zoveel mogelijk gegevens te verzamelen over het menselijk lichaam. Ze maten lengtes van neuzen, oogafstanden, schedelinhouden, gewichten, kleuren van irissen. Alles in dienst van de heersende opvatting, dat je alles kon verklaren door zoveel mogelijk te meten. De Belg Quetelet, die behalve sterrenkundige en wiskundige, ook socioloog was, was een pionier van de antropometrie (mensmeterij) en biostatistiek door van alles in kaart te brengen.

 

De beroemdste grootheid die hij bedacht was de Quetelet-Index ofwel de Body-Mass-Index (BMI), de verhouding van de menselijke maat massa (Massa in kilogram) gedeeld door zijn lengte (Lengte in meters) in het kwadraat. In een formule:

BMI = Massa / Lengte²  (kg/m²)

In de praktijk blijkt dat deze Body-Mass-Index een aardige indicatie geeft (niet meer en niet minder) of iemand te zwaar of te licht is. 

 

Wat de BMI zo aantrekkelijk maakt, is de eenvoud waarmee je hem kunt bepalen: iedereen heeft wel een personenweegschaal en iedereen kan zijn lengte eenvoudig bepalen met een rolmaat en een aftekenpotloodje (tekening Joop). Met de BMI hebben overheidsinstanties als de Wereldgezondheidsorganisatie (WHO) een goed beeld over hoe het staat met het overgewicht van de wereldbevolking. Overgewicht is nu eenmaal een gezondheidsrisico. Ook ons RIVM gebruikt de BMI voor het vaststellen of iemand met overgewicht in aanmerking komt voor een versnelde inenting tegen Covid-19. Bedenk echter dat ieder mens qua botten en vet verschillend is en de gewichtsverhoudingen ervan veranderen in de loop van je leven. De BMI is daarmee niet meer dan een indicatie waar iedereen, zoals gebruikelijk een mening over heeft.

 

Zelf heb ik een tamelijk stabiel gewicht van 70kg en een lengte van 1,70m (ik ben overigens al iets gekrompen). Reken je mijn BMI uit, dan kom ik op:

BMI= 70/1,70² = 24,2 (kg/m²)

Toen ik nog 1,72m was, was mijn BMI iets lager (BMI = 23,7kg/m²).

 

Overgewicht en ondergewicht

De WHO heeft met vele andere gezondheidsinstituten normen vastgesteld die aangeven wanneer iemand veel te zwaar, te zwaar, gewoon, of te licht is. Heb je een BMI groter dan 25kg/m², dan heb je overgewicht (te dik dus voor je lengte). Ligt je BMI onder de 18kg/m² dan ben je te licht (ondergewicht). Om het inzichtelijk te maken of je “goed” zit met je BMI, is in de figuur het gewicht uitgezet tegen de lengte bij een constante BMI. In het groene gebied zit je de BMI tussen de 18 en de 25kg/m2, en dat is prima. In mijn geval zit het dus goed (de blauwe stip is het kruispunt tussen 1,70m en 70kg). 

Omdat we gemiddeld te weinig bewegen en te veel eten en drinken, zie je in de wereld de BMI over de jaren toenemen. Per land zijn er grote verschillen. VS is koploper, daar heeft 36% van de bevolking overgewicht (tieners 41%!). In Nederland heeft 20% overgewicht (tieners 23%). In ontwikkelingslanden liggen die percentages aanzienlijk lager. In Congo 6,7% (tieners 9,6%), terwijl in Aziatische landen de BMI van de bevolking lager ligt omdat Aziaten overwegend lichter zijn gebouwd (lit. WHO).

De grafiek kunnen we ook gebruiken om de grenzen te bepalen waarbinnen je een “groene”  BMI hebt. Bij mijn 1,70m liggen die grenzen tussen de 52 en 72kg. Boven de 115kg zit ik in het rood (zwaar overgewicht) en onder de 52kg in het blauw (ondergewicht).

 

Taille

Behalve naar de BMI, wordt ook vaak gekeken naar de omvang van de taille. Kijken we nog eens naar de formule voor de BMI, dan kunnen we onze massa schrijven als het product van onze soortelijke massa, die iets meer is dan die van water, en ons volume (Massa = SM x Volume). 

Vullen we dit in, dan krijgen we voor de BMI:

BMI= (SM x Volume) / Lengte²

Als je volgroeid bent, zal bij een toenemend gewicht, je lengte niet toenemen, maar je wordt wel dikker. Het volume van de mens wordt bepaald door zijn Lengte vermenigvuldigd met zijn effectieve oppervlakte (Volume= Effectieve Opp x Lengte). Vullen we dit opnieuw in dan volgt voor de BMI:

BMI= (SM x Effectieve Opp) / Lengte

Nu is de effectieve oppervlakte van een mens tamelijk lastig te bepalen, rond je nek zal het te weinig zijn en rond je billen zal het te veel zijn. Het zal ertussenin zijn. En laat dat nou zo’n beetje het oppervlak rond je taille zijn. Het is ook de plek waar het vet zich ophoopt als je wat te dik bent. Kijk je in de boekjes, dan is vooral de taillemaat (omtrek) bepalend of iemand te dik of te dun is. Kortom of je broek of rok moet worden ingenomen of dat je naar de winkel moet voor een wijdere.

 

Kortom til niet al te zwaar aan al die cijfertjes, want iedereen heeft een verschillende bouw, maar blijf wel letten op die Corona kilootjes. 

 

De schrijver is een natuurkundige van 1,7m met een BMI van 24kg/m² en daarmee en tikkeltje aan de gezette kant.

 

Bronnen:

Wikipedia: Body Mass Index, artikel en grafiek 

Site WHO: uitgebreide demografische BMI-gegevens per land, per inkomen, per leeftijd, over de jaren

Site RIVM: alles over gezond gewicht in Nederland

Tekening: Joop van Eck

Dobbelen

In Coronatijd wordt er flink ge-mens-erger-je-niet, waarbij de rollende dobbelsteen je kansen in het spel bepaalt. In casino’s gaat het er serieuzer aan toe, want het gaat hier om geld. Het is verbluffend hoe snel je je geld kwijt bent met pokeren of roulette. Hoe zit het met je kansen bij al die spelletjes? Over kansrekening dit keer.

Kruis of munt

De bekendste gok is kruis-of-munt. Met grote handigheid gooien arbiters een Euro in de lucht, waarbij we weten dat de kans een ½ (of 50%) is dat een bepaalde kant boven ligt (of kruis of munt). Je kunt ook de kans uitrekenen dat je twee keer achter elkaar kruis gooit of een keer kruis en een keer munt, of twee keer munt. Daarvoor is het handig om alle mogelijke vier uitkomsten op een rij te zetten na twee worpen:

Omdat de kruis-munt combinatie tweemaal voorkomt, is de kans hierop groter (½ of 50%) dan tweemaal kruis of tweemaal munt (¼ of 25%).

Je kunt ook met meerdere munten gaan werken en nog vaker gooien, waarbij er voortdurend voorspellingen kunnen worden gemaakt over de verschillende kruis-munt combinaties. Het aantal mogelijke uitkomsten rijst al snel de pan uit.

Voor het werken met dobbelstenen, speelkaarten, pokeren, loterijen is een complete wiskunde ontwikkeld, die we kansrekening noemen en waar computers zich te pletter rekenen om betrouwbare uitkomsten te krijgen. De basis gelegd voor die wiskunde is gelegd door “onze” eigen zeer pragmatische Christiaen Huijgens (1629-1695) en Blaise Pascal (1623-1662)

Dobbelen

In dit verhaal houden we het “simpel” en gaan we eens kijken hoe het zit met dobbelstenen. Ben je aan het mens-erger-je-nieten, dan is de frustratie het grootst als je maar geen zes gooit, want dan kan je geen pion opzetten.

De kans op een 6 bij een worp is gelijk aan 1/6, want er zijn zes vlakken en dus zes mogelijkheden. De kans dat je GEEN zes gooit is gelijk aan 1-1/6 = 5/6. Gooi je drie keer achter elkaar geen zes, dan is die kans daarop gelijk aan 5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216 = 0,57. In het grafiekje hieronder staat aangegeven wat je kans is op “GEEN zes” als functie van het aantal worpen. Je ziet dat na vier keer gooien de kans bijna 50% is. Zolang moet je dus gemiddeld wachten.

Een ander voorbeeld: Als je bij “mens-erger-je-niet” een 2 en een 3 nodig hebt om je pion in de veilige haven te brengen, dan is de kans dat dat in twee worpen lukt: 2x (1/6 x 1/6) = 1/18 (5,5%), waarbij de kans dat je er door een ander wordt afgeschopt nog geen eens is meegerekend, en dat kan je natuurlijk ook weer uitrekenen.

Pokerstenen

Je kunt het aantal dobbelstenen nog groter maken (Yahtzee) en de ogen vervangen door iets anders: de pokerstenen zijn geboren. Met vijf pokerstenen wordt het aantal combinaties natuurlijk veel groter, maar de principes blijven hetzelfde. Het aantal mogelijkheden voor vijf pokerstenen loopt nu op tot (6 x 6 x 6 x 6 x 6) = 7776, zodat de kans op 5 keer een klaveraas gelijk wordt aan 1/7776 (0,013%). De kans op vijf verschillende plaatjes (lange straat) is wat groter en wordt (1x2x3x4x5)/7776= 120/7776 (1,5%). De wiskunde voorziet in rekentrucjes om al die combinaties efficiënt uit te rekenen (zie Wikipedia) en dat is zeker handig bij nog grotere aantallen, zoals bij speelkaarten en het roulettespel.

Verder gokken

Het werkt blijkbaar heel verslavend om naar een balletje te turen dat in een bak rondtolt en uiteindelijk neerdaalt op een van de 37 nummers 0, 1, 2, t/m 36, waarop je natuurlijk net niet gewed hebt. Ondanks het feit dat we zeker weten dat je altijd verliest wil je toch die spanning voelen als de teerling wordt geworpen. De reden dat het casino altijd winst draait bij het roulettespel zit hem erin, dat er een inzetverbod is voor de “nul”. Het eenvoudigst is dat in te zien, wanneer je bij roulette op bijvoorbeeld een even getal inzet (rood of zwart). Zou er geen nul in het spel zijn, dan is de kans 50% dat het getal even is, want er zijn evenveel even als oneven getallen 18/36=1/2 (50%). Dus op termijn speel je altijd quitte. Bij roulette zijn er geen 36 maar 37 mogelijkheden. Op de extra nul kan niet worden ingezet en de kans op een oneven getal wordt 18/37 (48,7%). En hier zal je dus altijd op termijn verliezen. Er zijn veel methodieken bedacht om via slimme inzetten de buit binnen te halen, maar dat wordt altijd onderuitgehaald (zie bron “poker dice”). Mocht je ooit een casino bezoeken met je vrienden, neem dan bijvoorbeeld 100EU mee. Mocht je op winst staan, dan geef je je vrienden een rondje, mocht je op grote winst staan, stop dan onmiddellijk. Mocht je je geld kwijt zijn, dan lik je je wonden, ga je niet verder en laat je je troosten door je maten, die er statistisch gezien, even beroerd zullen voorstaan.

Zijn allereerste tentamen haalde de auteur in 1968 bij Prof. Dr. Hans Freudenthal (een pionier van het hedendaagse wiskundeonderwijs) in Waarschijnlijkheid en Statistiek

 

Bronnen:

Hans Freudenthal, Waarschijnlijkheid en Statistiek, Volksuniversiteitsbibliotheek (1966), 3^de druk;

Zoek op: Frans van Schooten, Chr. Huijgens: Van reeckening in spelen van geluck, pdf 

Wikipedia: dobbelen; dobbelsteen (dice); poker dice; yahtzee; roulette (engels); Blaise Pascal; het puntenprobleem

Tekening: Joop van Eck (van twee dobbelstenen)