Dobbelen

In Coronatijd wordt er flink ge-mens-erger-je-niet, waarbij de rollende dobbelsteen je kansen in het spel bepaalt. In casino’s gaat het er serieuzer aan toe, want het gaat hier om geld. Het is verbluffend hoe snel je je geld kwijt bent met pokeren of roulette. Hoe zit het met je kansen bij al die spelletjes? Over kansrekening dit keer.

Kruis of munt

De bekendste gok is kruis-of-munt. Met grote handigheid gooien arbiters een Euro in de lucht, waarbij we weten dat de kans een ½ (of 50%) is dat een bepaalde kant boven ligt (of kruis of munt). Je kunt ook de kans uitrekenen dat je twee keer achter elkaar kruis gooit of een keer kruis en een keer munt, of twee keer munt. Daarvoor is het handig om alle mogelijke vier uitkomsten op een rij te zetten na twee worpen:

Omdat de kruis-munt combinatie tweemaal voorkomt, is de kans hierop groter (½ of 50%) dan tweemaal kruis of tweemaal munt (¼ of 25%).

Je kunt ook met meerdere munten gaan werken en nog vaker gooien, waarbij er voortdurend voorspellingen kunnen worden gemaakt over de verschillende kruis-munt combinaties. Het aantal mogelijke uitkomsten rijst al snel de pan uit.

Voor het werken met dobbelstenen, speelkaarten, pokeren, loterijen is een complete wiskunde ontwikkeld, die we kansrekening noemen en waar computers zich te pletter rekenen om betrouwbare uitkomsten te krijgen. De basis gelegd voor die wiskunde is gelegd door “onze” eigen zeer pragmatische Christiaen Huijgens (1629-1695) en Blaise Pascal (1623-1662)

Dobbelen

In dit verhaal houden we het “simpel” en gaan we eens kijken hoe het zit met dobbelstenen. Ben je aan het mens-erger-je-nieten, dan is de frustratie het grootst als je maar geen zes gooit, want dan kan je geen pion opzetten.

De kans op een 6 bij een worp is gelijk aan 1/6, want er zijn zes vlakken en dus zes mogelijkheden. De kans dat je GEEN zes gooit is gelijk aan 1-1/6 = 5/6. Gooi je drie keer achter elkaar geen zes, dan is die kans daarop gelijk aan 5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216 = 0,57. In het grafiekje hieronder staat aangegeven wat je kans is op “GEEN zes” als functie van het aantal worpen. Je ziet dat na vier keer gooien de kans bijna 50% is. Zolang moet je dus gemiddeld wachten.

Een ander voorbeeld: Als je bij “mens-erger-je-niet” een 2 en een 3 nodig hebt om je pion in de veilige haven te brengen, dan is de kans dat dat in twee worpen lukt: 2x (1/6 x 1/6) = 1/18 (5,5%), waarbij de kans dat je er door een ander wordt afgeschopt nog geen eens is meegerekend, en dat kan je natuurlijk ook weer uitrekenen.

Pokerstenen

Je kunt het aantal dobbelstenen nog groter maken (Yahtzee) en de ogen vervangen door iets anders: de pokerstenen zijn geboren. Met vijf pokerstenen wordt het aantal combinaties natuurlijk veel groter, maar de principes blijven hetzelfde. Het aantal mogelijkheden voor vijf pokerstenen loopt nu op tot (6 x 6 x 6 x 6 x 6) = 7776, zodat de kans op 5 keer een klaveraas gelijk wordt aan 1/7776 (0,013%). De kans op vijf verschillende plaatjes (lange straat) is wat groter en wordt (1x2x3x4x5)/7776= 120/7776 (1,5%). De wiskunde voorziet in rekentrucjes om al die combinaties efficiënt uit te rekenen (zie Wikipedia) en dat is zeker handig bij nog grotere aantallen, zoals bij speelkaarten en het roulettespel.

Verder gokken

Het werkt blijkbaar heel verslavend om naar een balletje te turen dat in een bak rondtolt en uiteindelijk neerdaalt op een van de 37 nummers 0, 1, 2, t/m 36, waarop je natuurlijk net niet gewed hebt. Ondanks het feit dat we zeker weten dat je altijd verliest wil je toch die spanning voelen als de teerling wordt geworpen. De reden dat het casino altijd winst draait bij het roulettespel zit hem erin, dat er een inzetverbod is voor de “nul”. Het eenvoudigst is dat in te zien, wanneer je bij roulette op bijvoorbeeld een even getal inzet (rood of zwart). Zou er geen nul in het spel zijn, dan is de kans 50% dat het getal even is, want er zijn evenveel even als oneven getallen 18/36=1/2 (50%). Dus op termijn speel je altijd quitte. Bij roulette zijn er geen 36 maar 37 mogelijkheden. Op de extra nul kan niet worden ingezet en de kans op een oneven getal wordt 18/37 (48,7%). En hier zal je dus altijd op termijn verliezen. Er zijn veel methodieken bedacht om via slimme inzetten de buit binnen te halen, maar dat wordt altijd onderuitgehaald (zie bron “poker dice”). Mocht je ooit een casino bezoeken met je vrienden, neem dan bijvoorbeeld 100EU mee. Mocht je op winst staan, dan geef je je vrienden een rondje, mocht je op grote winst staan, stop dan onmiddellijk. Mocht je je geld kwijt zijn, dan lik je je wonden, ga je niet verder en laat je je troosten door je maten, die er statistisch gezien, even beroerd zullen voorstaan.

Zijn allereerste tentamen haalde de auteur in 1968 bij Prof. Dr. Hans Freudenthal (een pionier van het hedendaagse wiskundeonderwijs) in Waarschijnlijkheid en Statistiek

 

Bronnen:

Hans Freudenthal, Waarschijnlijkheid en Statistiek, Volksuniversiteitsbibliotheek (1966), 3^de druk;

Zoek op: Frans van Schooten, Chr. Huijgens: Van reeckening in spelen van geluck, pdf 

Wikipedia: dobbelen; dobbelsteen (dice); poker dice; yahtzee; roulette (engels); Blaise Pascal; het puntenprobleem

Tekening: Joop van Eck (van twee dobbelstenen)