Pi

 Ik wil het hebben over het getal pi. Dat getal duikt op zodra je te maken krijgt met kromme dingen die je met rechte dingen wilt vergelijken. Zoals het berekenen van inhouden, oppervlakken of omtrekken van doucheputjes, tuinslangen, spaghetti, wokkels, de maan of de pilon van de ecoruïne in Hees. Je kunt het zo gek niet bedenken of je hebt dat getal pi nodig.

Dat recht met krom vergelijken uit zich al direct in de definitie van pi. Pi is namelijk de verhouding tussen de omtrek en de diameter (D) van een cirkel. Dat klinkt simpel, maar het is nog een hele klus om gewapend met een meetlint en een potloodje de omtrek van bijvoorbeeld een fietswiel te meten. Maar hoe je het ook wendt of keert, er komt altijd een verhouding uit die wat groter is dan drie (3,14….) en dat is onafhankelijk van de grootte van het fietswiel

Je kunt proberen het getal pi met passer en liniaal aan te vallen door bij een cirkel (diameter D) een omgeschreven (blauw) en een ingeschreven (geel) vierkant te tekenen (zie figuur). Het omgeschreven vierkant heeft een omtrek van 4xD, terwijl het ingeschreven vierkant met zijde D/√2 (met de stelling van Pythagoras) een omtrek heeft van 4xD/√2 = 2V2 x D= 2,83xD

Het oppervlak van de cirkel moet er ergens tussenin liggen. Dus een eerste schatting van pi levert (4+2,83)/2 = 3,41 en dat is bij lange na niet nauwkeurig genoeg.

 

Zo’n dikke tweeduizend jaar geleden berekende diezelfde Pythagoras pi door, anders dan een vierkant, veel meer om- en ingeschreven veelhoeken te gebruiken. Hij was heel handig met passer en liniaal en schopte het tot een veelhoek van 96(!) zijden en kwam tot een waarde van pi die moest liggen tussen 223/71 en 22/7 en dan te bedenken dat hij met Romeinse cijfers rekende (I, V, X, L, C, M). Als wij deze breuken in decimalen uitschrijven,  komt er 3,14084507 en 3,14285714 uit, en dat is niet slecht, het is minstens op twee decimalen nauwkeurig.

Sinds Pythagoras heeft de wereld niet stilgezeten, en hebben wiskundigen bewezen dat pi nooit geschreven kan worden als een breuk van twee gehele getallen en achter de komma een cijferreeks ontstaat, die zich nooit zal herhalen. Je kunt pi dus nooit exact uitrekenen.

 

In 1674 produceerde de Duitser Leibniz een benadering voor pi met de volgende breukjesreeks:

            Pi = 1/1 -1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -  ……. enzovoorts

Het probleem bij deze eenvoudige reeks is wel dat je wel erg veel (wel duizend!) van die breukjes moet uitrekenen en bij elkaar optellen om pi in twee decimalen goed te krijgen. 

 

De formules voor de reeksen werden geavanceerder en met de komst van computers zijn er voortdurend wereldrecords gevestigd. In 2021 is het laatste record gevestigd door pi in 62,8 biljoen decimalen te berekenen. Is dat nuttig? Ja dat is nuttig, want het is dè methode om computers te testen op hun snelheid en hun rekenmethodes (algoritmes). Er zijn algoritmes ontwikkeld waarbij er bij iedere rekenslag er zo’n veertien decimalen in pi bijkomen.

 

In huis-, tuin- en keukenrekenwerk gebruiken we pi, zoals die in je rekenmachientje staat. En dat is nauwkeurig in veertien decimalen. In de 17^de eeuw werd de Griekse letter π gereserveerd voor pi. We accepteren de grilligheid van dit getal en die veertien decimalen zijn meer dan voldoende om oppervlakken en inhouden van wiskundige figuren uit te rekenen.

            π = 3,141592653589793……

Toen ik voorbij de pilon liep aan de Wolfskuilseweg vroeg ik me af hoeveel steen en zand ze voor deze ecoruïne nodig hadden. Om dat uit te rekenen moet je die bult wel even opmeten en gebruik maken van de formules voor een afgeknotte kegel.

Het volume (V) van een afgeknotte kegel wordt gegeven door:

            V= π/12 x H x (D_g² + D_b² + D_b x D_g)

 

Het manteloppervlak (M) wordt:

            M = π/2 x S x (D_b + D_g)

 

De grootte van het boven oppervlak (B) wordt:

            B = π/4 x D_b²

 

Je ziet het, π komt er als constante overal in voor. De formules stellen ons in staat de hoeveelheid oppervlak aan stenen en de hoeveelheden grond snel uit te rekenen.

Met een gronddiameter D_g =5,5m, een bovendiameter D_b=3,1m, een hoogte H=0,7m en een mantellengte S=1,2m (zie foto) kunnen we de oppervlakken M en B en de inhoud V van de π-lon met de formules uitrekenen: Het volume V bedraagt zo’n elf kuub, terwijl het te bekleden oppervlak voor plantjes en stenen (M+B) zo’n 23+8,5=31,5 vierkante meter bedraagt. Echt nauwkeurig zijn de uitkomsten niet, maar daar kan π niets aan doen. 

 

 Tot slot: π is voor de natuurkunde een belangrijk getal het duikt overal op waar we niet alleen te maken hebben met cirkels, bollen, en ellipsen, maar ook met trillingen in de breedste zin: geluid, licht, slingers, wervelwinden, de stabiliteit van de auto van Max en die π-lon natuurlijk.

Literatuur: 

Wikipedia: pi, kegels

Polytechnisch Zakboekje (42^e editie) voor de formuletjes van meetkundige figuren

Tekening: Joop van Eck